2011年“北約”“華約”自主招生考試簡(jiǎn)單試題分析

在去年和今年的AAA測(cè)試中，都出現(xiàn)了一道和其他學(xué)科聯(lián)系的題目，2010年五校聯(lián)考出了一個(gè)生物背景的題目，2011年的七校聯(lián)考則出了一個(gè)不折不扣的物理問題：

一個(gè)均勻的質(zhì)量為a的杯子，里面裝滿水，水的質(zhì)量為b，問里面裝多少水的時(shí)候重心最低？

從物理意義上來(lái)分析，這個(gè)題目很顯然，當(dāng)重心落在水面上的時(shí)候是重心最低的時(shí)候，數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的是推導(dǎo)意義，因此只要抽象出基本的數(shù)學(xué)模型，用最簡(jiǎn)單的函數(shù)知識(shí)就可以解決。

類似于這樣的問題，其實(shí)母體仍然出現(xiàn)在高考當(dāng)中，只是較之高考，更加強(qiáng)調(diào)一般性問題的解決，更加強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)層面上的分析和推導(dǎo)，這和北約方數(shù)學(xué)試題的第6個(gè)題思路不謀而合。

平面上給定兩個(gè)定圓，一個(gè)動(dòng)圓和兩個(gè)定圓相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡，并證明。

這個(gè)題目筆者在今年學(xué)而思秋季的數(shù)學(xué)課程上詳細(xì)講解過(guò)，這個(gè)題目有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一個(gè)是處理相切時(shí)的狀態(tài)，得到點(diǎn)之間的距離關(guān)系；一個(gè)是注意在定圓的不同位置關(guān)系下和動(dòng)圓的不同相切（內(nèi)切和外切）狀態(tài)下有不同的結(jié)論。本題可以分很多種情況，不妨解釋其中的一種：

這個(gè)問題其實(shí)在高考復(fù)習(xí)階段，很多練習(xí)中會(huì)有一個(gè)到兩個(gè)的具體例子，但是很多同學(xué)對(duì)這個(gè)問題并沒有重視，這個(gè)題目就是從特殊情況（練習(xí)中的例子）到一般情況的一個(gè)拓展，學(xué)生如果平時(shí)不注重分析，這個(gè)題目往往會(huì)無(wú)法下手或者考慮情況不全，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，自主招生并不是要一味求難求偏，而更強(qiáng)調(diào)在平時(shí)學(xué)習(xí)中能夠“多想一點(diǎn)，多走一步”，這樣的積極主動(dòng)學(xué)習(xí)會(huì)給自主招生這類考試帶來(lái)極大的益處。