中值定理這塊一直都是很多考生的“災(zāi)難區(qū)”，一直沒有弄清楚看到一個題目到底怎么思考處理，因此也是考研得分比較低的一塊內(nèi)容，如果考生能把中值定理的證明題拿下，那么我們就會比其他沒做上的同學(xué)要高一個臺階，也可以說這是一套“拉仇恨”的題目。下面小編就和大家來一起分析一下這塊內(nèi)容。

1.具體考點(diǎn)分析

首先我們必須弄清楚這塊證明需要的理論基礎(chǔ)是什么，相當(dāng)于我們的工具，那需要哪些工具呢？

第一：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

最值定理：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的必有最大值和最小值。

推論：有界性(閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)必有界)。

介值定理：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)在最大值和最小值之間中任意一個數(shù)，都可以在區(qū)間上找到一點(diǎn)，使得這一點(diǎn)的函數(shù)值與之相對應(yīng)。

零點(diǎn)定理：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)，區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號相異，則區(qū)間內(nèi)必有一點(diǎn)函數(shù)值為零。

第二：微分中值定理(一個引理，三個定理)

費(fèi)馬引理：函數(shù)f(x)在點(diǎn)ξ的某鄰域U(ξ)內(nèi)有定義，并且在ξ處可導(dǎo)，如果對于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。

羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(3)對任一x∈(a,b)，F(xiàn)'(x)≠0

那么在(a,b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。

第三：積分中值定理：

如果函數(shù) f(x) 在積分區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則在 [a, b]上至少存在一個點(diǎn) ξ，使下式成立

加強(qiáng)版：如果函數(shù) f(x) 在積分區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則在 (a, b)上至少存在一個點(diǎn) ξ，使下式成立

第四：變限積分求導(dǎo)定理： 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分變上限函數(shù)在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù)，并且導(dǎo)數(shù)為：

第五：牛頓--萊布尼茨公式：如果函數(shù)f(x) 在區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，并且存在原函數(shù)F(x) ，則

2.注意事項(xiàng)

針對上文中具體的考點(diǎn)，佟老師再給出幾點(diǎn)注意事項(xiàng)，這幾個注意事項(xiàng)也是在證明題中的“小信號”，希望大家理解清楚并掌握：

1. 所有定理中只有介值定理和積分中值定理中的ξ所屬區(qū)間是閉區(qū)間。

2. 拉格朗日中值定理是函數(shù)f(x)與導(dǎo)函數(shù)f'(x)之間的橋梁。

3. 積分中值定理是定積分與函數(shù)之間的橋梁。

4. 羅爾定理和拉格朗日中值定理處理的對象是一個函數(shù)，而柯西中值定理處理的對象是兩個函數(shù)，如果結(jié)論中有兩個函數(shù)，形式與柯西中值定理的形式類似，這時就要想到我們的柯西中值定理。

5. 積分中值定理的加強(qiáng)版若在定理證明中應(yīng)用，必須先證明。

其次對于中值定理證明一般分為兩大類題型：第一應(yīng)用羅爾定理證明，也可又分為兩小類：證明結(jié)論簡單型和復(fù)雜型，簡單型一般有證明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k為任意常數(shù))，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像這樣的結(jié)論一般只需要找羅爾定理的條件就可以了，一般羅爾定理的前兩個條件題目均告知，只是要需找兩個不同點(diǎn)的函數(shù)值相等，需找此條件一般會運(yùn)用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、積分中值定理、拉格朗日中值定理、極限的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的定義等知識點(diǎn)。復(fù)雜型就是結(jié)論比較復(fù)雜，需要建立輔助函數(shù)，再使輔助函數(shù)滿足羅爾定理的條件。輔助函數(shù)的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在兩個點(diǎn)使之滿足某表達(dá)式。這樣的題目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，處理思想把結(jié)論中相同字母放到等是一側(cè)首先處理。

最后希望同學(xué)們仔細(xì)研究這塊內(nèi)容的歷年真題，通過研究真正的把處理方法轉(zhuǎn)化為自己的，祝大家考研成功?。?/p>

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